Question

【题目】如图，在ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝ 时，四边形AECF为正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3或4．

【解析】

（1）先根据四边形ABCD为平行四边形可得AD∥BC，进而可得∠1＝∠2，再根据EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，进而可得∠2＝∠3，再根据四边相等的四边形是菱形作出判定；

（2）当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，根据勾股定理列出方程求得x的值，进而得AC的长即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠1＝∠2，

∵EF垂直平分AC，

∴AF＝CF，AE＝CE，

∵AE＝CE，EF⊥AC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，

∴AE＝AF，

∴AE＝AF＝CE＝CF，

∴四边形AECF是菱形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，

∴当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，

则∠AEB＝90°，

设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，

在Rt△ABE中，，

∴，

解得，，

∴AC＝或，

故答案为：3或4．