Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式： ；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8；（2）当t=5时，S最大=；（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．

【解析】

试题分析：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=﹣t2+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；

（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C（0，5），D（3，0）然后根据待定系数法求出直线CD的解析式为：y=﹣x+5，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离为：，然后过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，然后求出N的坐标，然后过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．

解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+8，

故答案为：y=﹣x2+3x+8；

（2）∵点A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x18，x2=2，

∵点E在x轴的负半轴上，

∴点E（﹣2，0），

∴OE=2，

根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=DEOC=（10﹣t）t=﹣t2+5t，

即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，

∴当t=5时，S最大=；

（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，

∴当t=5时，OC=5，OD=3，

∴C（0，5），D（3，0），

由勾股定理得：CD=，

设直线CD的解析式为：y=kx+b，

将C（0，5），D（3，0），代入上式得：

k=﹣，b=5，

∴直线CD的解析式为：y=﹣x+5，

过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，

设直线EF的解析式为：y=﹣x+b，

将E（﹣2，0）代入得：b=﹣，

∴直线EF的解析式为：y=﹣x﹣，

将y=﹣x﹣，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：

，

解得：，，

∴P（，﹣）；

过点E作EG⊥CD，垂足为G，

∵当t=5时，S△ECD==，

∴EG=，

过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，

可得△EGD∽△DMN，

∴，

即：，

解得：DM=，

∴OM=，

由勾股定理得：MN==，

∴N（，），

过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，

设直线NH的解析式为：y=﹣x+b，

将N（，），代入上式得：b=，

∴直线NH的解析式为：y=﹣x+，

将y=﹣x+，与y=﹣x2+3x+8联立成方程组得：

，

解得：，，

∴P（8，0）或P（，），

综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，﹣）或P（8，0）或P（，）．