【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线交直线BC于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,问是否存在点P,使以M、P、Q为顶点的三角形与△CBO相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:把A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点代入y=ax2+bx+c,
得 ,解得
,
则抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)
解:设直线BC的解析式为y=mx+n,
将点B,C坐标代入y=mx+n,
得 ,解得
,
所以直线BC的解析式为y=﹣x+3.
设P点坐标为(t,t2﹣4t+3),则Q坐标为(t,﹣t+3),
∴PQ=﹣t+3﹣(t2﹣4t+3)=﹣t2+3t=﹣(t﹣ )2+
,
∴当t= 时,PQ的值最大,最大值为
;
(3)
解:∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
∵点M是对称轴与直线BC的交点,
∴将x=2代入y=﹣x+3,得y=﹣2+3=1,即M(2,1).
∵PQ∥y轴,
∴∠PQB=∠OCB,
∴以M,P,Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况:△PMQ∽△OBC或△MPQ∽△OBC.
①当△PMQ∽△OBC时,∠QPM=∠COB=90°,即PM⊥PQ,
∴yP=yM=1,
将yP=1代入y=x2﹣4x+3,得x2﹣4x+3=1,
解得x1=2﹣ ,x2=2+
(舍去),
∴此时P(2﹣ ,1);
②当△MPQ∽△OBC时,∠QMP=∠COB=90°,即PM⊥BC,
∴kPM= =1,
∴可设直线PM的解析式为y=x+d,
将M(2,1)代入y=x+d,
得2+d=1,解得d=﹣1,
∴y=x﹣1,
解方程组 ,得
,
(舍去),
∴此时P(1,0).
综上所述,存在点P,使以点M,P,Q为顶点的三角形与△OBC相似,P点坐标为(2﹣ ,1)或(1,0).
【解析】(1)把A(1,0),B(3,0),C(0,3)三点代入y=ax2+bx+c,利用待定系数法求得抛物线的解析式;(2)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=﹣x+3.设P点坐标为(t,t2﹣4t+3),则Q坐标为(t,﹣t+3),那么PQ=﹣t+3﹣(t2﹣4t+3)=﹣t2+3t,再利用配方法化为顶点式,即可求出PQ的最大值;(3)由PQ∥y轴,得出∠PQB=∠OCB,那么以M,P,Q为顶点的三角形与△OBC相似包含两种情况:①当△PMQ∽△OBC时,PM⊥PQ,yP=yM=1,易求P(2﹣ ,1);②当△MPQ∽△OBC时,先求直线PM的解析式,再联立PM与抛物线的解析式,求出P(1,0).
【考点精析】认真审题,首先需要了解二次函数的性质(增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,⊙P经过y轴上一点C,与x轴分别相交于A、B两点,连接BP并延长分别交⊙P、y轴于点D、E,连接DC并延长交x轴于点F.若点F的坐标为(﹣1,0),点D的坐标为(1,6).
(1)求证:CD=CF;
(2)判断⊙P与y轴的位置关系,并说明理由;
(3)求直线BD的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,E是△ABC中AB边上的一点,AD是△ABC的高,已知AD=10,CE=9,AB=12,∠B=65°,∠BCE=25°,求BC的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“全民阅读”深入人心,读好书让人终身受益.为打造书香校园,满足同学们的读书需求,学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书.经了解,20本文学名著和40本科技阅读共需1520元,一本文学名著比一本科技阅读多22元(注:所采购的文学名著书价格都一样,所采购的科技阅读书价格都一样).
(1)求每本文学名著和科技阅读各多少元?
(2)若学校要求购买科技阅读比文学名著多20本,科技阅读和文学名著总数不低于72本,总费用不超过2000元,请你为学校求出符合条件的购书方案.
(3)请在(2)的条件下,请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D、E
(1) 求证:CD=BE
(2) 若AD=3.5 cm,DE=2.7 cm,求BE的长
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小刚身高180cm,他站立在阳光下的影子长为90cm,他把手臂竖直举起,此时影子长为115cm,那么小刚的手臂超出头顶( )
A.35cm
B.50cm
C.25cm
D.45cm
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)如果BE=BC,且∠CBE:∠BCE=2:3,求证:四边形ABCD是正方形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,小亮从家步行到公交车站台,乘公交车去学校. 图中的折线表示小亮的离家距离s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是
A. 他离家8km共用了30min B. 公交车的速度是350m/min
C. 他步行的速度是100m/min D. 他等公交车时间为6min
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直于AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF折叠,使点A落在点A′处,当△A′CD时等腰三角形时,AP的长为 .
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com