Question

如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE＝CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC.

（1）求证：OE＝OF；

（2）若BC＝，求AB的长.

Answer 1

（1）证明:∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB∥CD.

∴ ∠OAE=∠OCF.

又∵ OA=OC, ∠AOE=∠COF，∴ △AEO≌△CFO（ASA）.∴ OE=OF.

（2）解:连接BO.∵ BE=BF，∴ △BEF是等腰三角形.

又∵ OE=OF,∴ BO⊥EF,且∠EBO=∠FBO.∴ ∠BOF=90°.

∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCF=90°.

又∵ ∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA,

∴ ∠BAC=∠EOA.∴ AE=OE.

∵ AE=CF,OE=OF,∴ OF=CF.

又∵ BF=BF,∴ Rt△BOF≌Rt△BCF（HL）.

∴ ∠OBF=∠CBF.∴ ∠CBF=∠FBO=∠OBE.

∵ ∠ABC=90°,∴ ∠OBE=30°.∴ ∠BEO=60°.∴ ∠BAC=30°.

在Rt△BAC中，∵ BC=2,∴ AC=2BC=4.

AB=

点拨:证明线段相等的常用方法有以下几种：①等腰三角形中的等角对等边；②全等三角形中的对应边相等；③线段垂直平分线的性质；④角平分线的性质；⑤勾股定理；⑥借助第三条线段进行等量代换．