Question

15．在△ABC中（AC＞AB），∠A=30°，AB=2，P、Q分别为AC、AB上的点，求PB+PQ的最小值．

Answer 1

分析 在AB上取点Q，作点Q′与点Q关于AC对称．由轴对称图形的性质可知PB+PQ=PB+PQ′=Q′B，由垂线段最短可知当Q′B⊥AQ′时，Q′B有最小值，最后利用特殊锐角三角函数求得Q′B的最小值即可．

解答 解：如图所示：在AB上取点Q，作点Q′与点Q关于AC对称．

∵点Q′与点Q关于AC对称，
∴∠Q′AC=∠CAB=30°，QP=Q′P．
∴∠Q′AB=60°，PB+PQ=PB+PQ′=Q′B．
由垂线段最短可知：当Q′B⊥AQ′时，Q′B有最小值，Q′B的最小值=sin60°•AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$．
∴PB+PQ的最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是轴对称路径最短问题，明确当Q′B⊥AQ′时，Q′B有最小值是解题的关键．