【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,点D在AB上,且BD=2AD,连接CD,将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE,连接BE,DE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)求线段DE的长度.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】分析:(1)先根据旋转的性质,由线段CD绕点C逆时针旋转90°,于是可得∠ACD=∠BCE,然后根据SAS即可得到△ACD≌△BCE;(2)先在RT△中利用勾股定理求出AB=6,由BD=2AD得到AD=2,BD=4,再证明∠DBE=90°,BE=2,然后在RT△BDE中利用勾股定理即可求出DE的长度.
详解:(1)证明:∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△ACD与△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE;
(2)解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3,
∴AB=6.
∵BD=2AD,
∴AD=2,BD=4.
由(1)可知△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠A=45°,BE=AD=2,
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°.
∵在Rt△BDE中,∠DBE=90°,
∴DE2=BE2+BD2,
∴DE==2
.
点睛:本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识.
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【题目】两组数据:98,99,99,100和98.5,99,99,99.5,则关于以下统计量说法不正确的是( )
A. 平均数相等
B. 中位数相等
C. 众数相等
D. 方差相等
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【题目】为了推动我县“三进校园”活动的广泛开展,引导学生走向操场,走到阳光下,积极参加体育锻炼,学校准备购买一批运动鞋供学生借用,现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号,绘制了如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中的值为 ;
(2)本次调查获取的样本数据的众数为 ,中位数为 ;
(3)根据样本数据,若学校计划购买双运动鞋,建议购买
号运动鞋 双.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°.
(1)判断∠D是否是直角,并说明理由.
(2)求四边形ABCD的面积.
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【题目】如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD对折,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( )
A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm
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【题目】阅读理解:若 为数轴上三点,若点
到
的距离是点
到
的距离
倍,我们就称点
是
的巧点.若
为数轴上三点,若点
到
的距离是点
到
的距离一半,我们就称点
是
的妙点.如图,点
表示的数为
,点
表示的数为
,表示
的点
到点
的距离是
,到点
的距离是
,那么点
是
的巧点,点
是
的妙点.
知识运用:
(1)如图 1,点表示的数是
,点
表示的数是
,点
表示的数是
,那么点
是(
的( )
A.巧点 B. 妙点 C. 无法确定
(2)如图 2,为数轴上两点,点
所表示的数为
,点
所表示的数为
,则(
的巧点表示的数是 ;
拓展提升
(3)如图 3,为数轴上两点,点
所表示的数为
,点
所表示的数为
.现有一只电子蚂蚁P从点
出发,以每
秒单位的速度向右运动,到达点
停止. 当经过几秒时,
和
其有一个点为其余两点的巧点? (请直接写出结果)
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【题目】小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16分钟回到家中.设小明出发第t分钟的速度为v米/分,离家的距离为s米.v与t之间的部分图象、s与t之间的部分图象分别如图1与图2(图象没画完整,其中图中的空心圈表示不包含这一点),则当小明离家600米时,所用的时间是( )分钟.
A. 4.5B. 8.25C. 4.5 或8.25D. 4.5 或 8.5
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【题目】青竹湖湘一外国语学校初级全体学生从学校统一乘车去市科技馆参观学习,然后又统一乘车原路返回,需租用客车若干辆.现有甲、乙两种座位数相同的客车可以租用,甲种客车每辆的租金为
元,另按实际行程每千米加收
元;乙种客车每辆按每千米
元收费.
(1)当行程为多少千米时,租用两种客车的费用相同?
(2)青竹湖湘一外国语学校距市科技馆约公里,如果你是年级组杨组长,为节省费用,你会选择哪种客车?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,BM=OM,OB=2
,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接MC,求四边形MBOC的面积.
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