Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为______．

Answer 1

【答案】3

【解析】

由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，由Rt△ADB为等腰直角三角形，则AD=BD=1，即此时圆的直径为1，再根据圆周角定理可得到∠EOH=60°，则在Rt△EOH中，利用锐角三角函数可计算出EH=，然后根据垂径定理即可得到EF=2EH．

解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径最短，

如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

∵∠EOF=2∠BAC=120°，

而∠EOH=∠FOH，

∴∠EOH=60°，

在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=sin60°=，

∵OH⊥EF，

∴EH=FH，

∴EF=2EH=3，

即线段EF长度的最小值为3．

故答案为3．