Question

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=

1

4

（x-3）²向下平移使之经过点A（8，0），平移后的抛物线交y轴于点B．
（1）求∠OBA的正切值；
（2）点C在平移后的抛物线上且位于第二象限，其纵坐标为6，连接CA、CB．求△ABC的面积；
（3）点D的平移后抛物线的对称轴上且位于第一象限，连接DA、DB，当∠BDA=∠OBA时，求点D坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设平移后的抛物线表达式为y=

1

4

（x-3）²+k，把A（8，0）代入表达式可得k的值，可得出平移后的抛物线表达式，把把x=0代入得y的值，可得出B坐标，即可得出tan∠OBA的值．
（2）利用平移后的抛物线可得出点C的坐标，从而得出直线AC的解析式，由AC与y轴交于点E，可得出点E的坐标，利用S_△ABC=S_△BCE+S_△ABE求解即可，
（3）设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，利用角的关系可得△NAD∽△DAB，由相似比可得AD²=AN•AB，由FN∥BO，可得AN=

5

8

AB，再结合AF²+m²=AD²，即可求出点D的坐标．

解答：解：（1）设平移后的抛物线表达式为y=

1

4

（x-3）²+k，把A（8，0）代入表达式解得k=-

25

4

，
∴平移后的抛物线表达式为y=

1

4

（x-3）²-

25

4

，
如图，

把x=0代入得y=

1

4

（x-3）²-

25

4

，得y=-4，
∴B（0，-4），
在RT△AOB中，tan∠OBA=

OA

OB

=2，
（2）把y=6代入y=

1

4

（x-3）²-

25

4

，解得x₁=-4或x₂=10（舍去），
∴C（-4，6），
如图，

∴直线AC解析式为y=-

1

2

x+4，
设AC与y轴交于点E，则点E的坐标为（0，4），
∴S_△ABC=S_△BCE+S_△ABE=

1

2

BE•|C_横坐标|+

1

2

BE•OA=16+32=48，
（3）如图，设对称轴交线段与AB与N，交x轴于点F，

∵FN∥BO，
∴∠OBA=∠DNA，
∵∠BDA=∠OBA
∴∠BDA=∠DNA，
∴△NAD∽△DAB，
∴

AD

AN

=

AB

AD

，即AD²=AN•AB，
∵FN∥BO，
∴

AN

AB

=

AF

AO

=

5

8

，
∴AN=

5

8

AB，
设点D的坐标为（3，m），
由题意得AF²+m²=AD²，即5²+m²=

5

8

（4

5

）²，
解得m=5（负值舍去），
∴点D（3，5）．

点评：本题主要考查了二次函数综合题涉及勾股定理，相似三角形，三角形面积等知识，解题的关键是确定平移后的抛物线表达式．