Question

【题目】在△ABN中，∠B =90°，点M是AB上的动点（不与A,B两点重合），点C是BN延长线上的动点（不与点N重合），且AM=BC，CN=BM，连接CM与AN交于点P.

（1）在图1中依题意补全图形;

（2）小伟通过观察、实验，提出猜想:在点M，N运动的过程中，始终有∠APM=45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路:

要想解决这个问题，首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45°的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明∠APM=45°.

他们的一种作法是：过点M在AB下方作MDAB于点M,并且使MD=CN.通过证明△AMD△CBM,得到AD=CM,再连接DN，证明四边形CMDN是平行四边形，得到DN=CM，进而证明△ADN是等腰直角三角形，得到∠DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形，推得∠APM=45°.使问题得以解决.

请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明∠APM=45°.

Answer 1

【答案】（1）补图见解析；（2）证明见解析

【解析】（1）在图1中依题意补全图形,如图1所示：

（2）证明：如图2，

过点A作ADAB于点A,并且使AD=CN.连接DM,DC.

∵AM=BC，∠DAM=∠MBC =90°，

∴△DAM△MBC.

∴DM=CM, ∠AMD=∠BCM.

∵∠DAM=90°.

∴∠AMD+∠BMC =90°.

∴∠DMC =90°.

∴∠MCD =45°.

∵AD∥CN,AD=CD,

∴四边形ADCN是平行四边形.

∴AN∥DC.

∵∠MCD =45°.

∴∠APM=45°.