Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（-8，0），点M从点A出发沿AO以每秒1个单位长度的速度运动至点O，同时点N从点B出发沿射线BO以每秒2个单位长度的速度运动，当点M运动至O时，点N也同时停止运动，P是MN的中点，连接BP，设点M的运动时间为t（s）．
（1）当运动刚好停止时，点N的坐标为（2，0）；
（2）试用含t的代数式表示点P的坐标，并求当t为何值时，点P在y轴上；
（3）当0＜t＜4时，设四边形ABPM的面积为S，请求出S与t的函数关系式，并求当t为何值时，四边形ABPM的面积为11？

Answer 1

分析 （1）由时间=路程÷速度，可得出当M点运动到O点时的时间，结合N点的运动速度，即可得出结论；
（2）过点P作PC⊥x轴交x轴于点C，过点P作PD⊥y轴交y轴于点D，用含t的代数式表示出来MO和NO，由P为MN的中点得出PC、PD为△MON的中位线，从而得到P点的坐标，令P点的横坐标为0，即可算出P在y轴上时运动的时间t；
（3）线段BN和MN将△AOB分成了三部分，除了四边形ABPM外还有两个三角形，用△AOB的面积减去两个小三角形的面积即可得出S与t的函数关系式，令S=11，结合0＜t＜4即可得出结论．

解答 解：（1）∵点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（-8，0），
∴AO=5，BO=8．
当运动刚好停止时，运动的时间t=5÷1=5，
此时点N运动的路程为2×5=10，10-8=2，即点N的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
（2）过点P作PC⊥x轴交x轴于点C，过点P作PD⊥y轴交y轴于点D，如图所示．

∵AM=t，BN=2t，AO=5，BO=8，
∴MO=5-t，NO=8-2t，
∵P为MN的中点，
∴PD、PC均为△OMN的中位线，
∴PD=4-t，PC=$\frac{5-t}{2}$，
∴点P的坐标为（t-4，$\frac{5-t}{2}$）．
令t-4=0，解得：t=4，
∴当t=4时，点P在y轴上．
（3）由题意可知：
S=$\frac{1}{2}$BO•AO-$\frac{1}{2}$MO•NO-$\frac{1}{2}$BN•PC，
=$\frac{1}{2}$×5×8-$\frac{1}{2}$×（5-t）×（8-2t）-$\frac{1}{2}$×$\frac{5-t}{2}$×2t，
=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{13}{2}$t，
∴S与t的函数关系式为S=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{13}{2}$t（0＜t＜4）．
令S=11，即-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{13}{2}$t=11，
解得：t=2，或t=11（舍去），
∴当t=2时，四边形ABPM的面积为11．

点评 本题考查了一次函数的应用、中位线的性质以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）算出停止运动时的时间；（2）利用中位线的性质找出P点的坐标；（3）分割三角形AOB．本题属于中档题，难度不大，（1）较简单；（2）初中没有学到中点坐标，但是在日常做题中常常用到，此处如果用中点坐标公式会更简洁一些；（3）分割图形求面积是我们求不规则图形面积时常用到的手段，在日常学习中应加强学生对分割图形求面积的练习．