Question

2．如图，在MN的同侧作△AMN和△BMN，BM平分∠AMN，AN平分∠BNM，AN交BM于点C．设∠A=α°，∠B=β°，下列结论不正确的是（　　）

• A． 若α=β，则点C在MN的垂直平分线上
• B． 若α+β=180°，则∠AMB=∠NMB
• C． ∠MCN=$（\frac{α+β}{3}+60）$°
• D． 当∠MCN=120°时，延长MA、NB交于点O，则OA=OB

Answer 1

分析 A．若α=β，易得∠AMC=∠BNC，由角平分线的性质易得∠CMN=∠CNM，由等腰三角形的性质，可得CM=CN，利用垂直平分线的判定定理可得结论；
B、BM平分∠AMN，即∠AMB=∠NMB，与α、β无关；
C、由三角形内角和等于180°易得∠A+∠AMN+∠ANM=180°和∠B+∠BMN+∠BNM=180°，由角平分线定义可知∠AMN=2∠BMN和∠BNM=2∠ANM，套入前面两等式相加可得出∠BMN+∠ANM=120°-$\frac{α+β}{3}$，在△CMN中由三角形内角和为180°即可得出结论；
D、当∠MCN=120°时，延长MA、NB交于点O，只能得出∠MON=60°，从而得出D答案不成立．

解答 答：A、∵α=β，∠MCA=∠NCB，
∴△MCA∽△NCB，
∴∠AMC=∠BNC，
∵BM平分∠AMN，AN平分∠BNM，
∴∠MNC=∠CNM，
∴点C在MN的垂直平分线上．
即A成立；
B、∵BM平分∠AMN，
∴∠AMB=∠NMB．
即B成立；
C、∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠B+∠BMN+∠BNM=180°，且BM平分∠AMN，AN平分∠BNM，
∴∠A+2∠BMN+∠ANM=180°，∠B+∠BMN+2∠ANM=180°，
，两式相加得：∠A+2∠BMN+∠ANM+∠B+∠BMN+2∠ANM=360°，
即α°+β°+3（∠BMN+∠ANM）=360°，
∴∠BMN+∠ANM=120°-$\frac{α+β}{3}$°．
由三角形的内角和为180°可知：∠BMN+∠ANM+∠MCN=180°，
∴∠MCN=（60+$\frac{α+β}{3}$）°．
即C成立；
由排除法可知D选项不成立．
故选D．

点评 本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质和三角形的内角和为180°，解题的关键是逐项分析选项得知A、B、C均成立．本题属于中档题，在各选项的判断中用到的知识点较多，唯一的好处在于本题是选择题，不需要去证明和验证各项结论．