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【题目】如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+cy轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0),P是抛物线上一动点,过点Px轴的垂线PQ,过点AAQPQ于点Q,连接AP.

(1)填空:抛物线的解析式为   ,点C的坐标   

(2)点P在抛物线上运动,若AQP∽△AOC,求点P的坐标;

(3)如图2,当点P位于抛物线的对称轴的右侧,若将APQ沿AP对折,点Q的对应点为点Q',请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(﹣1,0);(2)P的坐标为()或();(3)P的坐标为(4,0)或(5,﹣6)或(2,6)

【解析】分析:1)利用待定系数法求抛物线解析式然后利用抛物线解析式得到一元二次方程通过解一元二次方程得到C点坐标

2)利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQPm,﹣m2+3m+4),所以m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|然后解方程4m23m)=m和方程4m23m)=﹣mP点坐标

3)设Pm,﹣m2+3m+4)(m),当点Q落在x轴上延长QPx轴于H如图2PQ=m23m证明RtAOQRtQHP利用相似比得到QB=4m12OQ′=123m.在RtAOQ利用勾股定理得到方程42+123m2=m2然后解方程求出m得到此时P点坐标当点Q落在y轴上易得点AQ′、PQ所组成的四边形为正方形利用PQ=PQ得到|m23m|=m然后解方程m23m=m和方程m23m=﹣m得此时P点坐标.

详解:(1)把A04),B40)分别代入y=﹣x2+bx+c

解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4

y=0,﹣x2+3x+4=0解得x1=﹣1x2=4C(﹣10);

故答案为:y=﹣x2+3x+4;(﹣10);

2∵△AQP∽△AOC====4AQ=4PQ

Pm,﹣m2+3m+4),m=4|4﹣(﹣m2+3m+4|

4|m23m|=m解方程4m23m)=mm1=0(舍去)m2=

此时P点坐标为();

解方程4m23m)=﹣mm1=0(舍去)m2=

此时P点坐标为();

综上所述P的坐标为()或();

3)设Pm,﹣m2+3m+4)(m),

当点Q落在x轴上延长QPx轴于H如图2

PQ=4﹣(﹣m2+3m+4)=m23m

∵△APQ沿AP对折Q的对应点为点Q',

∴∠AQP=AQP=90°,AQ′=AQ=mPQ′=PQ=m23m

∵∠AQO=QPHRtAOQRtQHP

==解得QB=4m12

OQ′=m﹣(4m12)=123m

RtAOQ42+123m2=m2

整理得m29m+20=0解得m1=4m2=5

此时P点坐标为(40)或(5,﹣6);

当点Q落在y轴上则点AQ′、PQ所组成的四边形为正方形

PQ=PQ′,即|m23m|=m解方程m23m=mm1=0(舍去)m2=4

此时P点坐标为(40);

解方程m23m=﹣mm1=0(舍去)m2=2此时P点坐标为(26).

综上所述P的坐标为(40)或(5,﹣6)或(26

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