Question

16．Rt△ABC中，∠ABC=15°，∠BAC=90°，以BC为斜边向A同侧作等腰直角△BDC交AB于E，若BC=$\sqrt{6}$，求S_△BEC．

Answer 1

分析 过E作EF⊥BC，交BC于点F，在直角三角形BDC中，由BC的长求出DB与DC的长，由三角形DCB为等腰直角三角形，由∠DBC-∠ABC求出∠DBA的度数，在直角三角形BDE中，设DE=x，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到BE=2x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出DC的长，由DC-DE求出EC的长，在等腰直角三角形ECF中，求出EF的长，由BC为底边，EF为高，求出三角形BEC面积即可

解答 解：过E作EF⊥BC，交BC于点F，
在Rt△BDC中，BC=$\sqrt{6}$，
根据勾股定理得：DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∵△DCB为等腰直角三角形，∠ABC=15°，
∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°-15°=30°，
在Rt△BED中，BD=，∠DBE=30°，
设DE=x，则有BE=2x，
根据勾股定理得：BE²=BD²+DE²，即4x²=3+x²，
解得：x=1，
∴EC=DC-DE=$\sqrt{3}$-1，
∵△EFC为等腰直角三角形，
∴EF=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）=$\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则S_△BEC=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．