Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，BC经过⊙H的圆心交⊙H于点D、E，AB、AC是圆的切线，F、G是切点．
（1）求证：BH=CH；
（2）①当∠FED=22.5°时，四边形AFHG是平行四边形；
②当∠FED=15°时，△AFG是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，由AB、AC是圆的切线，F、G是切点，得到∠BFH=∠CGH=90°，推出△BFH≌△CGH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①当∠FED=22.5°时，四边形AFHG是平行四边形；由圆周角定理得到∠FHB=45°，求得∠FHG=90°，根据矩形的性质得到结论；
②当∠FED=15°时，四边形AFHG是平行四边形；由圆周角定理得到∠FHB=30°，根据全等三角形的性质得到∠GHC=∠BHF=30°，求得∠B=∠C=60°，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB、AC是圆的切线，F、G是切点，
∴∠BFH=∠CGH=90°，
在△BHF与△CGH中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BFH=∠CGH}\\{FH=GH}\end{array}\right.$，
∴△BFH≌△CGH，
∴BH=CH；

（2）①解：当∠FED=22.5°时，四边形AFHG是平行四边形；
∵∠FED=22.5°，
∴∠FHB=45°，
∵△BFH≌△CGH，
∴∠GHC=∠BHF=45°，
∴∠FHG=90°，
∴∠AFH=∠EHF=∠AGH=90°，
∴四边形AFHG是矩形，
∴四边形AFHG是平行四边形；
故答案为：22.5°；

②当∠FED=15°时，四边形AFHG是平行四边形；
∵∠FED=15°，
∴∠FHB=30°，
∵△BFH≌△CGH，
∴∠GHC=∠BHF=30°，
∵∠BFH=∠CGH=90°，
∴∠B=∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：15°．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，等边三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．