Question

13．下面是一道化简求值题，其中括号内的部分不小心被墨水盖住了：
$\frac{a-2}{a+3}÷\frac{{a}^{2}-4}{2a+6}$-（★）．已知该题化简的结果是-$\frac{3}{a+2}$．
（1）求被墨水盖住的式子；
（2）若已知a是方程1-$\frac{1}{a-1}$=$\frac{2a}{1-a}$的解，求原分式的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用将分式的分子与分母分解因式，进而化简得出被墨水盖住的式子；
（2）首先解分式，进而得出a的值，再代入原式求出答案．

解答 解：（1）∵$\frac{a-2}{a+3}÷\frac{{a}^{2}-4}{2a+6}$-（★）=-$\frac{3}{a+2}$，
∴$\frac{a-2}{a+3}$×$\frac{2（a+3）}{（a+2）（a-2）}$-（★）=-$\frac{3}{a+2}$，
∴$\frac{2}{a+2}$-（★）=-$\frac{3}{a+2}$，
∴（★）=$\frac{2}{a+2}$+$\frac{3}{a+2}$=$\frac{5}{a+2}$，
即被墨水盖住的式子为：$\frac{5}{a+2}$；

（2）∵a是方程1-$\frac{1}{a-1}$=$\frac{2a}{1-a}$的解，
∴a-1-1=-2a，
解得：a=$\frac{2}{3}$，
检验：当a=$\frac{2}{3}$时，a-1≠0，故a=$\frac{2}{3}$是原方程的根，
故原式=-$\frac{3}{a+2}$=-$\frac{3}{\frac{2}{3}+2}$=-$\frac{9}{8}$．

点评 此题主要考查了分式的化简求值以及分式方程的解法，正确化简分式是解题关键．