Question

3．如图，已知AF=AB，∠FAB=60°，AE=AC，∠EAC=60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF=BE；②∠AMO=∠ANO；③OA平分∠FOE；④∠COB=120°，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 如图先证明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，S_△ABE=S_△AFC，得到AP=AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，再利用“8字型”证明∠CON=∠CAE=60°，由此可以解决问题．

解答 解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，
∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠FAC=∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAE=∠FAC}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE=FC，故①正确，∠AEB=∠ACF，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO
∴∠CON=∠CAE=60°=∠MOB，
∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故④正确，
连AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图，
∵△ABE≌△AFC，
∴S_△ABE=S_△AFC，
∴$\frac{1}{2}$•CF•AP=$\frac{1}{2}$•BE•AQ，而CF=BE，
∴AP=AQ，
∴OA平分∠FOE，所以③正确，
∵∠AMO=∠MOB+∠ABE=60°+∠ABE，∠ANO=∠CON+∠ACF=60°+∠ACF，
显然∠ABE与∠ACF不一定相等，
∴∠AMO与∠ANO不一定相等，故②错误，
综上所述正确的有：①③④．
故选C．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，利用全等三角形面积相等证明高相等是解决问题的关键，属于中考常考题型．