Question

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{1}{2}x+2$的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．
（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的$\frac{3}{5}$，求出此时点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=$\frac{3}{2}$对称可找出B点的坐标；
②由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由△PAC的面积是△ABC面积的$\frac{3}{5}$，结合同底三角形的面积公式即可得出点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的$\frac{3}{5}$，设出P点坐标，由点到直线的距离可列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（3）假设存在，设出D点坐标，由两点间的距离公式用n表示出各边长度，结合勾股定理分别讨论即可得出结论．

解答 解：（1）①令y=-$\frac{1}{2}x+2$=0，解得：x=4，
即点A的坐标为（4，0）．
∵A、B关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，
∴点B的坐标为（-1，0）．
②令x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}x+2$，即$\frac{1}{2}$x+y-2=0，
设点P的坐标为（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2），
∵点P为直线AC上方的抛物线上的一点，
∴0＜m＜4．
∵△PAC的面积是△ABC面积的$\frac{3}{5}$，
∴点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的$\frac{3}{5}$．
由点到直线的距离可知：|$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m+2-2|=$\frac{3}{5}$|-$\frac{1}{2}$-2|，
即m²-4m+3=0，解得：m₁=1，m₂=3．
所以点P的坐标为（1，3）或（3，2）．
（3）假设存在，设D点的坐标为（$\frac{3}{2}$，n）．
由两点间的距离公式可知：AC=$\sqrt{{4}^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{（\frac{3}{2}-4）^{2}+{n}^{2}}$，CD=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（n-2）^{2}}$，
△ADC为直角三角形分三种情况：
①AC²+AD²=CD²，此时有4n=-20，
解得：n=-5，
此时点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-5）；
②AC²+CD²=AD²，此时有20-4n=0，
解得：n=5，
此时点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，5）；
③AD²+CD²=AC²，此时有4n²-8n-15=0，
解得：n=1±$\frac{\sqrt{19}}{2}$．
此时点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）和（$\frac{3}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．
综上可知：在抛物线的对称轴上存在点D，使△ADC为直角三角形，点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-5）、（$\frac{3}{2}$，5）、（$\frac{3}{2}$，1-$\frac{\sqrt{19}}{2}$）和（$\frac{3}{2}$，1+$\frac{\sqrt{19}}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求解析式、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是（1）待定系数法求解析式；（2）结合点到直线的距离列出关于m的一元二次方程；（3）结合两点间的距离公式和勾股定理得出关于n的方程．本题属于中档题，（1）难度不大，（2）可以借助点到直线的距离找出关于m的一元二次方程来解决问题，（3）分情况讨论找出点D的纵坐标．