Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=120°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用分类讨论，当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，易得∠PBA=30°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；情况二：利用锐角三角函数得AP的长；如图2，当∠BAP=90°时，如图3，利用锐角三角函数得AP的长．

解答 解：当∠APB=90°时，分两种情况讨论，
情况一：如图1，
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴∠OAP=60°，
∴∠∠PBA=30°，
∴AP=$\frac{1}{2}$AB=2；
情况二：如图2，∵AO=BO，∠APB=90°，
∴PO=BO，
∵∠AOC=120°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∴∠OBP=60°，
∴AP=AB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$；
当∠BAP=90°时，如图3，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOP=60°，
∴AP=OA•tan∠AOP=2×$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2或2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键．