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    20．如图，AD是△ABC的中线，试说明：AB2+AC2=2（AD2+CD2）

    分析 利用勾股定理得AB2+AC2=2AD2-2ED2+BE2+CE2，进而由BE2=DC2+2DC•ED+ED2，CE2=DC2-2DC•ED+ED2，求出即可．

    解答 证明：如图，作BC边上的高AE交BC于E，
    则在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，
    在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，
    所以AB2+AC2=2AE2+BE2+CE2，
    在在Rt△AED中，AE2=AD2-ED2，
    则AB2+AC2=2AD2-2ED2+BE2+CE2，
    ∵AD是△ABC的BC边上的中线，
    ∴BD=DC，
    ∴BE2=（BD+ED）2=（DC+ED）2=DC2+2DC•ED+ED2，
    CE2=（DC-ED）2=DC2-2DC•ED+ED2，
    ∴AB2+AC2=2AD2-2ED2+DC2+2DC•ED+ED2+DC2-2DC•ED+ED2，
    ∴AB2+AC2=2（AD2+CD2）．

    点评 本题考查勾股定理，三角形的中线及高的定义以及完全平方公式，关键是利用勾股定理得AB2+AC2=2AD2-2ED2+BE2+CE2．

    练习册系列答案
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