Question

【题目】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝x－1的图像上．

（2）若该函数的图像与函数y＝x＋b的图像有两个交点，则b的取值范围为（ ）

A．b＞0 B．b＞－1 C．b＞－ D．b＞－2

（3）该函数图像与坐标轴交点的个数随m的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）C；（3）①当m＞1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为1；②m＝1，，时，该函数图像与坐标轴交点的个数为2；③当m＜，＜m＜，＜m＜1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为3．

【解析】

（1）首先求出抛物线的顶点坐标，然后代入直线解析式进行判断即可；

（2）联立方程组，根据方程组有两组解，利用根的判别式进行判断即可；

（3）分别由当抛物线的顶点在直线y=x-1与x轴的交点上方时，抛物线与坐标轴有一个交点，抛物线顶点在x轴上以及抛物线经过原点时，抛物线与坐标轴有2个交点分别列式求出m的值即可确定答案．

（1）证明：∵y＝x2－2mx＋m2＋m－1

＝(x－m)2＋m－1

∴该函数的图像的顶点坐标为（m，m－1），

将x＝m代入y＝x－1得，y＝m－1，

∴不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y＝x－1的图像上．

（2）联立方程组

∴x2－2mx＋m2＋m－1=x＋b

整理，得：x2－（2m+1）x＋m2＋m－1-b=0

∵函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1的图像与函数y＝x＋b的图像有两个交点，

∴△=

解得，b＞－

故选：C．

（3）∵该函数的图像的顶点坐标为（m，m－1），

①当m-1＞0，即m＞1时，该函数图像与y轴有一个交点，

∴当m＞1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为1；

②当函数的图像的顶点在x轴以及经过原点时，

由于函数的图像的顶点在函数y＝x－1的图像上

∴当y=0时，x=1，即m=；

当图象经过原点时，即m2＋m－1=0，

解得，，

∴当m＝1，，时，该函数图像与坐标轴交点的个数为2；

③当m＜，＜m＜，＜m＜1时，该函数图像与坐标轴交点的个数为3．