Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．

（1）求点E的坐标；
（2）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（3，4）；（2）存在，

【解析】

（1）根据翻折特点可得∠DOB=∠AOB，由平行性质可得∠OBC=∠DOB，故EO=EB，设OE=x，则DE=8-x，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，即16+（8-x）2=x2，可进一步求出E的坐标；

（2）过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，结合（1），根据面积有DE×BD=BE×DG，故DG=，得GN=OC=4，可求出DN=DG+GN．

（1）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB，
∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），
设OE=x，则DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，
∴16+（8-x）2=x2，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴E（3，4）；
（2）如图，

过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，
由（1）得，DE=3，BE=5，BD=4，
∴根据面积有DE×BD=BE×DG，
∴DG=由题意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=

即：AM+MN的最小值是．