Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m-2）x+

1

2

m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程有一根为x₁=1，设这个方程的另一根为x₂，求x₂与m的值；
（3）设这个方程的两个实数根分别为x₁，x₂，且满足2x₁+x₂=m+1，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值，然后配方得到△=（m-3）²+7，然后根据非负数的性质得到△＞0，则可根据判别式的意义判断这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得1+x₂=-（m-2），1•x₂=

1

2

m-3，然后解方程组即可；
（3）根据根与系数的关系得x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=

1

2

m-3，而2x₁+x₂=m+1，先解出x₁=2m-1，x₂=-3m+3，再得到关于m的方程（2m-1）（-3m+3）=

1

2

m-3，然后解方程即可．

解答：（1）证明：△=（m-2）²-4（

1

2

m-3）=m²-6m+16=（m-3）²+7，
∵（m-3）²≥0，
∴△＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得1+x₂=-（m-2），1•x₂=

1

2

m-3，
∴1+

1

2

m-3=-m+2，解得m=

8

3

，
∴x₂=

1

2

•

8

3

-3=-

5

3

；
（3）解：根据题意得x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=

1

2

m-3，
∵2x₁+x₂=m+1，
∴x₁=2m-1，x₂=-3m+3，
∴（2m-1）（-3m+3）=

1

2

m-3，
整理得6m²-

17

2

m=0，
解得m₁=0，m₂=

17

12

．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．