Question

9．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践--应用--探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．（2）应用：规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道在竖直方向上的高度差至少为0.5m，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了一下两个问题，请予解答：
Ⅰ如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．
Ⅱ如图④，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P　为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点式将顶点坐标（5，6.25）代入，求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知得出当x=2时，正好是汽车宽度，代入函数解析式求出即可；
（3）I．首先用未知数表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；
II•利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO，以及P在y=x的图象上，即可得出P点的坐标．

解答 解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，
代入顶点式得：
y=a（x-5）²+6.25，
∴0=a（10-5）²+6.25，
解得：a=-0.25，
∴y=-0.25（x-5）²+6.25；

（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴10-3×2=4，
4÷2=2，
∴x=2代入解析式得：
y=-0.25（2-5）²+6.25；
y=4，
4-3.5=0.5，
∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；

（3）I．假设AO=x，可得AB=10-2x，
∴AD=-0.25（x-5）²+6.25；
∴矩形ABCD的周长为l为：l=2[-0.25（x-5）²+6.25]+2（10-2x）=-0.5x²+x+20，
∴l的最大值为：$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-\frac{1}{2}）×20-1}{-2}$=20.5．
II•如图④，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，
∵P在y=x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．
∴∠POA=∠OPA=45°，
∴Q点的纵坐标为5，
∴5=$\frac{-{m}^{2}+10m}{4}$，
解得：m=5±$\sqrt{5}$，
如图⑤，当∠P₃NQ₃=90°时，过点Q₃作Q₃K₁⊥对称轴，
当△NQ₃K₁为等腰直角三角形时，△NP₃Q₃为等腰直角三角形，
Q点在OM的上方时，P₃Q₃=2Q₃K₁，P₃Q₃=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{5}{2}$-x，
Q₃K₁=5-x，
Q点在OM的下方时，P₄Q₄=2Q₄K₂，P₄Q₄=x-（-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{5}{2}$），
Q₄K₂=x-5，
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{7}{2}$x+10=0，
解得：x₁=4，x₂=10，
P₃（4，4），P₄（10，10）
∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为：
（5-$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$）或（5+$\sqrt{5}$，5+$\sqrt{5}$）或（4，4）或（10，10）．

点评 此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y=x图象上点的性质是解决问题的关键．