Question

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，
①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．
②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用x表示．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质，可得∠OBA与∠DBC的关系，根据等式的性质，可得∠OBC=∠ABD，根据“SAS”得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；
（2）根据全等三角形的性质，可得∠BAD=∠BOC=60°，根据等边三角形的性质，可得∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等，可得∠OAE=60°，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，根据待定系数法，将点A和E的坐标代入即可确定出解析式；
（3）①根据平行线的性质，可得EF与EA重合，根据三角形的中位线，可得A为OC中点，根据线段中点的性质，可得C的坐标；根据等边三角形的性质，可得DF⊥BC，根据平行线的性质，可得BF与OB垂直，根据切线的判定，可得答案；
②根据等边三角形的“三线合一”，可得DF垂直平分BC，根据轴对称的性呢，可得GB为HC+HG的最小值，根据圆的性质，可得FB，FC及FG相等，根据直角三角形的判定，可得△BCG为直角三角形；根据“三线合一”，可得∠CBG为30°，根据锐角三角函数，可得BG，根据等边三角形的性质，可得BM及AM，根据勾股定理表示出BC的长即可．

解答 解：（1）∵△OAB和△BCD都为等边三角形，
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠OBC=∠ABD}\\{BC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OBC≌△ABD（SAS），
∴AD=OC=1+x；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：
由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAE=60°，又OA=1，
在直角三角形AOE中，tan60°=$\frac{DE}{OA}$，则OE=$\sqrt{3}$，
点E坐标为（0，-$\sqrt{3}$），A（1，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以直线AE的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$；
（3）①根据题意画出图形，如图所示1：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，则EF与EA所在的直线重合，
∴点F为DE与BC的交点，
又F为BC中点，
∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，
∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；
这时直线BO与⊙F相切，理由如下：
∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，
∴DF⊥BC，又EF∥OB，
∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，
故直线BO与⊙F相切；
②根据题意画出图形，如图所示：
，
由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG=$\frac{1}{2}$BC，
∴△CBG为直角三角形，又△BCD为等边三角形，
∴BG为∠CBD的平分线，即∠CBG=30°，
过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由△OAB为等边三角形，
∴M为OA中点，即MA=$\frac{1}{2}$，BM=3$\sqrt{2}$，MC=AC+AM=x+$\frac{1}{2}$．
在直角三角形BCM中，根据勾股定理得：
BC=$\sqrt{B{M}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+x+1}$，
∵DF垂直平分BC，
∴B和C关于DF对称，
∴HC=HB，
则HC+HG=BG，此时BG最小，
在直角三角形BCG中，
BG=BCcos30°=$\frac{1}{2}$$\sqrt{3{x}^{2}+3x+3}$．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了全等三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求函数解析式；（3）①利用了直线与圆的位置关系；②利用了轴对称-最短路线问题．