Question

4．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=100°，∠BOC=α，D是△ABC外一点，且△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）△COD是什么三角形？说明理由；
（2）若AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n（n为大于1的整数），求α的度数．
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的性质得到CO=CD，∠BCO=∠ACD，由等边三角形的性质得到∠ACB=60°，求得∠OCD=∠ACB=60°；即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BOC根据勾股定理的逆定理得到∠ADO=90°，于是得到∠ADC=150°，即可得到结论；
（3）分三种情况：：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，根据周角的定义得到∠ADO=α-60°，得到方程190°-α=α-60°求得α=125°；②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．由于∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，于是得到α-60°=50°求得α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．由于190°-α=50°于是得到α=140°．

解答 （1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴CO=CD，∠BCO=∠ACD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=∠ACB=60°；
∴△COD是等边三角形，

（2）解：∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC
∵AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n，
∴AO²=（n²+1）²=（n²-1）²+（2n）²=AD²+OD²，
∴∠ADO=90°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADC=150°，
∴α=150°；

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO．
∵∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-α=360°-100°-60°-α=200°-α，∠ADO=α-60°，
∴200°-α=α-60°
∴α=130°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠AOD=200°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=40°，
∴α-60°=40°
∴α=100°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵200°-α=40°
∴α=160°．
综上所述：当α的度数为130°，或100°，或160°时，△AOD是等腰三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．