Question

15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先根据题意画出图形，然后解直角三角形求得AC的长，然后分两种情况讨论即可求得答案．

解答 解：当⊙O经过点C时，则AC是直径，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，
∴AC=cos30°•AB=2$\sqrt{3}$，
∴OA=$\sqrt{3}$，
当圆O经过B点时，如图，
作OD⊥AB于点D，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠A=30°，
∴cos∠A=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
∴⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}≤OA≤\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系以及解直角三角形．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．