Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴分别交于点A，B，与y轴交于点C，已知BO=CO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在线段OB上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P，连结PA，若PA⊥CE，垂足为点F，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）OE的长为

【解析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由OB=OC可得出点B的坐标，根据点B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设PA交y轴于点D，由∠ADO=∠CDF利用等角的余角相等可得出∠PAB=∠OCE，结合∠PEA=∠EOC=90°可得出△PEA∽△EOC，根据相似三角形的性质可得出=，设点E的坐标为（x，0），则点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），进而可得出关于x的方程，解之即可得出结论．

（1）当x=0时，y=3，∴点C的坐标为（0，3），∴OB=OC=3，∴点B的坐标为（3，0）．

∵抛物线y=ax2﹣2ax+3的图象过点B（3，0），∴0=9a﹣6a+3，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）设PA交y轴于点D，如图所示．

∵PA⊥CE，∴∠EFA=∠EOC=90°．

∵∠ADO=∠CDF，∴∠PAB=∠OCE．

∵PE⊥x轴，∴∠PEA=∠EOC=90°，∴△PEA∽△EOC，∴=．

设点E的坐标为（x，0），则点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），∴=，解得：x=或x=－1（舍去），即OE的长为．