Question

【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，

（1）当顶点坐标为（2，2）时，求此函数的解析式；

（2）继续探究，如果b≠0，且抛物线顶点坐标为（m，m），m≠0，求此函数的解析式（用含m的式子表示）

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）y＝﹣x2+2x；（3）满足条件的正方形边长是3，6或9．

【解析】

（1）顶点坐标为（2，2）时，抛物线的表达式为：y＝a（x2）2＋2＝ax24ax＋4a＋2，故4a＋2＝0，解得：a＝，即可求解；

（2）抛物线顶点坐标为（m，m），抛物线的表达式为：y＝a（xm）2＋m＝ax22max＋am2＋m，即：am2＋m＝0，解得：a＝，即可求解；

（3）点Dn所在的抛物线解析式为y＝x2＋2x．四边形AnBnCnDn是正方形，则点Dn的坐标是（2n，n），（2n）2＋22n＝n，4n＝3t，即可求解．

抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则抛物线的表达式为：y＝ax2+bx；

（1）顶点坐标为（2，2）时，抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2+2＝ax2﹣4ax+4a+2，

故4a+2＝0，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+2＝﹣x2+2x；

（2）抛物线顶点坐标为（m，m），抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+m＝ax2﹣2max+am2+m，

即：am2+m＝0，解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m＝﹣x2+2x；

（3）∵顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，

∴可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．

∴a＝﹣x2+2x．

∵四边形AnBnC nDn是正方形，C

∴点Dn的坐标是（2n，n），

∴﹣（2n）2+22n＝n，

∴4n＝3t．

∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12，

∴n＝3，6或9．

∴满足条件的正方形边长是3，6或9．