Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、，二次函数的图象经过点A、B，且a、m满足为常数．

若一次函数的图象经过A、B两点．

当、时，求k的值；

若y随x的增大而减小，求d的取值范围；

当且、时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；

点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k的值为；的取值范围为；（2）轴；线段CD的长度不变，理由见解析．

【解析】

（1）①当a=1、d=-1时，m=2a-d=3，于是得到抛物线的解析式，然后求得点A和点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可；

②将x=a，x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，然后依据y1随着x的增大而减小，可得到-（a-m）（a+2）＞-（a+2-m）（a+4），结合已知条件2a-m=d，可求得d的取值范围；

（2）由d=-4可得到m=2a+4，则抛物线的解析式为y=-x2+（2a+2）x+4a+8，然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标，最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系；

（3）先求得点A和点B的坐标，于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式，则点C（0，-2d），D（0，-2d-8），于是可得到CD的长度．

当、时，，

所以二次函数的表达式是．

，

点A的横坐标为1，点B的横坐标为3，

把代入抛物线的解析式得：，把代入抛物线的解析式得：，

，．

将点A和点B的坐标代入直线的解析式得：，解得：，

所以k的值为．

，

当时，；当时，，

随着x的增大而减小，且，

，解得：，

又，

的取值范围为．

且、，，

．

二次函数的关系式为．

把代入抛物线的解析式得：．

把代入抛物线的解析式得：．

、．

点A、点B的纵坐标相同，

轴．

线段CD的长度不变．

过点A、点B，，

．

，．

把代入，得：，

．

点D在y轴上，即，

，．

把代入得：．

．

．

线段CD的长度不变．