Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠OCD=90°，点D在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD的中点A．
（1）求该反比例函数的解析式．
（2）若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边DC交于点B，在x轴上求一点P，使PA+PB最小，求点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据线段的中点坐标的求法（线段中点的横纵坐标分别是线段2个端点的横纵坐标的和的一半）易得点A坐标，设出反比例函数的解析式，把A点坐标代入即可；
（2）先由点B，D的横坐标相等，代入（1）中反比例函数的解析式中，求出点B的坐标，再作点B关于x轴的对称点B′，连结AB′，交x轴于点P，则此时PA+PB最小．运用待定系数法求出直线AB′的解析式，令y=0，求出x的值，即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵∠OCD=90°，点D在第一象限，OC=3，DC=4，
∴D（3，4），
∵OD的中点为点A，
∴A（1.5，2）；
设反比例函数解析式为y=

k

x

，
那么k=1.5×2=3，
∴该反比例函数的解析式为y=

3

x

；

（2）∵y=

3

x

，
∴当x=3时，y=1，
∴B（3，1）．
如图，作点B关于x轴的对称点B′，连结AB′，交x轴于点P，则此时PA+PB最小．
设直线AB′的解析式为y=mx+n，
∵A（1.5，2），B′（3，-1），
∴

1.5m+n=2 3m+n=-1

，
解得：

m=-2 n=5

，
∴y=-2x+5，
当y=0时，-2x+5=0，解得x=2.5，
∴点P坐标为（2.5，0）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，线段中点坐标公式，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．