Question

设点A是抛物线y=x²-3x上位于x轴下方，且在对称轴左侧的一个动点，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．
（1）当DC=1时，求矩形ABCD的周长；
（2）试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴另一交点E的坐标，根据抛物线和矩形的对称性可知：OB的长，就是OE与BC的差的一半，由此可求出OB的长，即B点的坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出B点纵坐标，也就得出了矩形AB边的长．进而可求出矩形的周长；
（2）思路同（1）可设出A点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示纵坐标），也就能表示出B点的坐标，即可得出OB的长，同（1）可得出BC的长，而AB的长就是A点纵坐标的绝对值，由此可得出一个关于矩形周长和A点纵坐标的函数关系式，根据函数的性质可得出矩形周长的最大值及对应的A的坐标．

解答：解：（1）由y=x²-3x，
令y=0，得x²-3x=0，
解得x₁=0，x₂=3
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）
∴它的顶点为（

3

2

，

9

4

），对称轴为直线x=

3

2

，其大致位置如图所示，
∵BC=1，易知OB=

1

2

×（3-1）=1．
∴B（1，0）
∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x²-3x上，
∴点A的纵坐标y=1²-3×1=-2．
∴AB=|y|=|-2|=2．
∴矩形ABCD的周长为：2（AB+BC）=2×（2+1）=6．

（2）∵点A在抛物线y=x²-3x上，故可设A点的坐标为（x，x²-3x），
∴B点的坐标为（x，0）．（0＜x＜

3

2

）
∴BC=3-2x，A在x轴下方，
∴x²-3x＜0，
∴AB=|x²-3x|=3x-x²
∴矩形ABCD的周长，
C=2[（3x-x²）+（3-2x）]=-2（x-

1

2

）²+

13

2

，
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，二次函数有最大值，
∴当x=

1

2

时，矩形ABCD的周长C最大值为

13

2

．
此时点A的坐标为A（

1

2

，-

5

4

）．

点评：本题主要考查二次函数的综合知识，重点考查二次函数解析式的确定以及二次函数的应用，难度适中，是一道好题．