Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．

（1）求证：BF=AC；

（2）求证：CE=BF；

（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．

 

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD=CD．

∵∠DBF=90°﹣∠BFD，∠DCA=90°﹣∠EFC，且∠BFD=∠EFC，

∴∠DBF=∠DCA．

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵

∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．

∴BF=AC；

 

（2）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

在Rt△BEA和Rt△BEC中

，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．

∴CE=AE=AC．

又由（1），知BF=AC，

∴CE=AC=BF；

 

（3）证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD．

H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”）

连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=∠ABC=×45°=22.5°，∠EGC=45°．

又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．

∵△GEC是直角三角形，

∴CE²+GE²=CG²，

∵DH垂直平分BC，

∴BG=CG，

∴CE²+GE²=CG²=BG²；即2CE²=BG²，BG=CE，

∴BG＞CE．