【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向旋转90交直线BC于点Q.
(1)当点P在线段AB上运动(不与A,B重合)时,求证:OABQ=APBP;
(2)在(1)成立的条件下,设点P的横坐标为m,线段CQ的长度为,求出关于m的函数解析式,并判断是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由;
(3)直线AB上是否存在点P,使△POQ为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)详见解析;(2),;(3)存在,
【解析】
(1)根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ,再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OABQ=APBP;
(2)由第一问可求得BQ的值,从而求得l关于m的关系式,利用二次函数最值即可得到最小值;
(3)因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ,根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值,从而确定点P的坐标.
证明:(1)∵PO⊥PQ,
∴∠APO+∠BPQ=90,
在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90,
∴∠BPQ=∠AOP,
∴△OAP∽△PBQ,
∴,
即OABQ=APBP.
(2)∵OABQ=APBP,即,
∴
∴当m=2时,l有最小值.
(3) ∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ,
即PA2+AO2=PB2+BQ2
则m2+32=(4m)2+()2
整理得m48m3+16m272m+63=0
m48m3+7m2+9m272m+63=0
m2(m28m+7)+9(m28m+7)=0
(m1)(m7)(m2+9)=0
∴m1=1,m2=7,m2=9(舍去)
故存在P1(1,3),P2(7,3)使△POQ为等腰三角形.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,分别以点A(2,3)、点B(3,4)为圆心,以1、3为半径作⊙A、⊙B,M,N分别是⊙A、⊙B上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为_____.
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【题目】某校八年级学生在一起射击训练中,随机抽取10名学生的成绩如下表,回答问题:
环数 | 6 | 7 | 8 | 9 |
人数 | 1 | 5 | 2 |
(1)填空:_______;
(2)10名学生的射击成绩的众数是_______环,中位数是_______环;
(3)若9环(含9环)以上评为优秀射手,试估计全年级500名学生中有_______名是优秀射手.
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【题目】坐标为整数的点叫格点,如图,已知A(-3,0)、B(-3,4)和原点都是格点,在如图6×9的网格中使用无刻度的直尺按要求作图.
(1)找格点C,连BC,使BC与OA的交点就是OA的中点,画出图形直接写出C点坐标.
(2)按以下方法可以作出∠AOB的平分线.
第一步:找格点D,使OD=OB;
第二步:找格点E,使DE⊥OB交AB于F;
第三步:连OF,则OF是∠AOB的平分线;
请你按步骤完成作图,并写出D、E三点的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为(,),点的坐标为(,),点C的坐标为(,).
(1)在图中作出的外接圆(利用格图确定圆心);
(2)圆心坐标为 _____;外接圆半径为 _____;
(3)若在轴的正半轴上有一点,且,则点的坐标为 _____.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点M是BC的中点.
(1)在AM上求作一点E,使△ADE∽△MAB(尺规作图,不写作法);
(2)在(1)的条件下,求AE的长.
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【题目】如图,将正六边形ABCDEF放置在直角坐标系内,A(﹣2,0),点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2020次翻转之后,点C的坐标是_____.
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【题目】有2个信封,每个信封内各装有四张卡片,其中一个信封内的三张卡片上分别写有1、2、3、三个数,另一个信封内的三张卡片分别写有4、5、6三个数,甲、乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,然后把卡片上的两个数相乘,如果得到的积大于10,则甲获胜,否则乙获胜.
(1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率.
(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?
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【题目】毕业在即,重庆实验外国语学校初2016级拍摄了毕业照,每个班都得到了若干张风格迥异的照片样品供同学们选择.年级团委书记王老师想了解同学们对照片的选择情况,在全年级进行了一次抽样调查,按照同学们选择的张数把选择情况分为四个层次: A:4张;B:3张;C:2张;D:1张.并将调查结果绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题:
请你根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)补全条形统计图和扇形统计图;
(2)根据调查结果,估计初2016级2000名同学一共选择了多少张毕业照?
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