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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向旋转90交直线BC于点Q.

(1)当点P在线段AB上运动(不与A,B重合)时,求证:OABQ=APBP

(2)(1)成立的条件下,设点P的横坐标为m,线段CQ的长度为,求出关于m的函数解析式,并判断是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由;

(3)直线AB上是否存在点P,使POQ为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

【答案】1)详见解析;(2;(3)存在,

【解析】

1)根据已知利用相似三角形的判定得到△AOP∽△BPQ,再根据相似三角形的对应边成比例即可得到OABQ=APBP
2)由第一问可求得BQ的值,从而求得l关于m的关系式,利用二次函数最值即可得到最小值;

3)因为△POQ是等腰三角形所以PO=PQ,根据等式PA2+AO2=PB2+BQ2可求得m的值,从而确定点P的坐标.

证明:(1)∵POPQ

∴∠APO+BPQ=90

RtAOP,APO+AOP=90

∴∠BPQ=AOP

∴△OAP∽△PBQ

OABQ=APBP.

(2)OABQ=APBP,即

∴当m=2时,l有最小值.

(3) ∵△POQ是等腰三角形

PO=PQ

PA2+AO2=PB2+BQ2

m2+32=(4m)2+()2

整理得m48m3+16m272m+63=0

m48m3+7m2+9m272m+63=0

m2(m28m+7)+9(m28m+7)=0

(m1)(m7)(m2+9)=0

m1=1,m2=7,m2=9(舍去)

故存在P1(1,3)P2(7,3)使△POQ为等腰三角形.

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