【题目】已知△ABC为等边三角形,点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列),连接CE.
(1)如图1,当点D在边BC上时,求证:①BD=CE,②AC=CE+CD;
(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CE+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系.
【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)AC=CE+CD不成立,AC、CE、CD之间存在的数量关系是:AC=CE﹣CD,理由见解析;(3)补图见解析;AC=CD﹣CE.
【解析】
(1)根据等边三角形的性质及等式的性质证明△ABD≌△ACE,从而得出结论;
(2)根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE,就可以得出BD=CE,就可以得出AC=CE﹣CD;
(3)先根据条件画出图形,根据等边三角形的性质及等式的性质就可以得出△ABD≌△ACE,就可以得出BD=CE,就可以得出AC=CD﹣CE.
(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,即∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE.
∵BC=BD+CD,AC=BC,
∴AC=CE+CD;
(2)AC=CE+CD不成立,
AC、CE、CD之间存在的数量关系是:AC=CE﹣CD.
理由:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
∴CE﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,
∴AC=CE﹣CD;
(3)补全图形(如图)
AC、CE、CD之间存在的数量关系是:AC=CD﹣CE.
理由:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC=BC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE,
∴∠BAD=∠CAE
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE.
∵BC=CD﹣BD,
∴BC=CD﹣CE,
∴AC=CD﹣CE.
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【题目】甲、乙两车沿同一平直公路由地匀速行驶(中途不停留),前往终点地,甲、乙两车之间的距离(千米)与甲车行驶的时间(小时)之间的函数关系如图所示。下列说法:①甲、乙两地相距210千米;②甲速度为60千米/小时;③乙速度为120千米/小时;④乙车共行驶小时,其中正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯,荣获了诺贝尔物理学奖.石墨烯目前是世上最薄却也是最坚硬的纳米材料,同时还是导电性最好的材料,其理论厚度仅0.000 000 000 34米,将这个数用科学记数法表示为
A. B. C. D.
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【题目】已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】老师所留的作业中有这样一个分式的计算题:,甲、乙两位同学完成的过程分别如下:
老师发现这两位同学的解答都有错误.
(1)甲同学的解答从第 步开始出现错误,错误的原因是 ;
乙同学的解答从第 步开始出现错误,错误的原因是 ;
(2)请重新写出完成此题的正确解答过程.
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【题目】某校准备组织七年级400名学生参加夏令营,已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人;用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人
(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生?
(2)若学校计划租用小客车a辆,大客车b辆,一次送完,且恰好每辆车都坐满,
①请写出、满足的关系式__________.
②若小客车每辆租金2000元,大客车每辆租金3800元,请你设计出最省钱的租车方案.
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【题目】如图1,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.
(1)求证AE2+AD2=2AC2 ;
(2)如图2,过点C作CO垂直AB于0点并延长交DE于点F,请确定线段AE、AF、DF间的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,增加下列条件,不能得出BE∥DF的是( )
A. AE=CF B. BE=DF C. ∠EBF=∠FDE D. ∠BED=∠BFD
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【题目】从﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3这七个数中随机抽取一个数记为a,则a的值是不等式组 的解,但不是方程x2﹣3x+2=0的实数解的概率为 .
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