Question

【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的表达式为；

（2）当时，MN取最大值，最大值为．

（3）存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（﹣1，4）．

【解析】

试题分析：（1）令一次函数关系式中x=0、x=﹣3，求出点A、B的坐标，由三点的坐标利用待定系数法即可得出结论；

（2）设点N的坐标为（m，）（﹣3＜m＜0），则点M的坐标为（m，﹣ m+1），用含m的代数式表示出来MN，结合二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）假设存在，设点N的坐标为（m，）（﹣3＜m＜0），连接BN、CM，当四边形BCMN为菱形时，BM与NC相互垂直平分，根据BC=MN算出m的值，从而得出点N的坐标，再去验证BN是否等于BC，由此即可得出结论．

试题解析：（1）令一次函数y=﹣x+1中x=0，则y=1，

∴点A的坐标为（0，1）；

令一次函数y=﹣x+1中x=﹣3，则y=﹣×（﹣3）+1=，

∴点B的坐标为（﹣3，）．

将点A（0，1）、点B（﹣3，）、点（﹣1，4）代入到y=ax2+bx+c中，

得：，解得：．

∴二次函数的表达式为．

（2）设点N的坐标为（m，）（﹣3＜m＜0），则点M的坐标为（m，﹣ m+1），

∴MN=﹣（﹣m+1）==，

∴当时，MN取最大值，最大值为．

（3）假设存在，设点N的坐标为（m，）（﹣3＜m＜0），连接BN、CM，如图所示．

若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可．

∵点B坐标为（﹣3，），点C的坐标为（﹣3，0），

∴BC=．

∵四边形BCMN为菱形，

∴MN==BC=，

解得：m1=﹣2，m2=﹣1．

当m=﹣2时，点N的坐标为（﹣2，），

∴BN=，BC=，BN≠BC，

故m=﹣2（舍去）；

当m=﹣1时，点N的坐标为（﹣1，4），

∴BN=，BC=，BN=BC，

∴点N（﹣1，4）符合题意．

故存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（﹣1，4）．