Question

【题目】（1）问题发现

如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝kAC，点D是AB上一点，DE∥BC．

填空：BD，CE的数量关系为　 　；位置关系为　 　；

（2）类比探究

如图②，将△ADE绕着点A顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°），连接BD，CE，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将△ADE绕点A顺时针旋转，旋转角为α，直线BD，CE交于点F，若AC＝1，AB＝，当∠ACE＝15°时，请直接写出BF的长．

Answer 1

【答案】（1）问题发现：BD＝kCE；BD⊥CE；（2）类比探究：（1）中的结论还成立，理由见解析；（3）拓展延伸：BF的长为或．

【解析】

（1）由平行线分线段成比例可得，由已知条件即可得BD=kEC；由∠A=90°即可得出BD⊥CE；
（2）通过证明△ABD∽△ACE，可得=k，即可得BD=kEC；再证出∠BFC=90°，即可得出BD⊥CE；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得∠ACE=∠ABD，即可证∠BFC=90°，由直角三角形的性质和勾股定理可求BF的值．

（1）问题发现：

解：∵DE∥BC，

∴＝，

∵AB＝kAC，

∴BD＝kCE，

∵∠A＝90°，

∴AB⊥AC，

∴BD⊥CE；

故答案为：BD＝kCE；BD⊥CE；

（2）类比探究：

解：（1）中的结论还成立，理由如下：

延长CE交BD于F，如图②所示：

由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE，

∵DE∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴△ABD∽△ACE，

∴＝＝k，∠ABD＝∠ACE，

∴BD＝kEC；

∵∠CBF+∠BCF＝∠ABD+∠ABC+∠BCF＝∠ACE+∠BCF+∠ABC＝∠ACB+∠ABC＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴BD⊥CE；

（3）拓展延伸：

解：由旋转的性质可知：∠BAD＝∠CAE

∵＝，

∴△ABD∽△ACE，

∴∠ACE＝15°＝∠ABD，

∵∠ABC+∠ACB＝90°，

∴∠FBC+∠FCB＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，

∴tan∠ABC＝，

∴∠ABC＝30°，

∴∠ACB＝60°，

分两种情况：

①0°＜α≤90°时，如图②所示：

∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，

∴BC＝2AC＝2，

∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2，

∴BF＝CF＝；

②α＞90°时，如图③所示：

设CF＝a，在BF上取点G，使∠BCG＝15°

∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，

∴∠CFB＝90°，

∴∠GCF＝60°，∠CBF＝∠BCG，

∴CG＝BG＝2a，GF＝a．

∴BF＝BG+GF＝（2+）a，

∵CF2+BF2＝BC2

∴a2+（2a+a） 2＝22，

解得：a2＝2﹣，

∴a＝，

∴BF＝（2+）＝＝＝；

即：BF的长为或．