Question

19．如图，已知四边形ABCD中E，F，G，H，N、N，R、S分别是四边形三等分点，求证：S_阴影=$\frac{1}{9}$S_{四边形ABCD}．

Answer 1

分析 连接RN、AC、EH，如图1，易证RN=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{1}{2}$EH，RN∥AC∥EH，进而可证到L是EN、RH的三等分点，同理可得I是EN、SG的三等分点，J是SG、FM的三等分点，K是FM、RH的三等分点．要证S_阴影=$\frac{1}{9}$S_{四边形ABCD}，只需证S_{四边形ILKJ}=$\frac{1}{3}$S_{四边形EFMN}，S_{四边形EFMN}=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}，连接LJ、EJ、LM、EM，如图2，只需运用等高三角形的面积比等于底的比即可解决问题．

解答 证明：连接RN、AC、EH，如图1，
∵E，F，G，H，N、N，R、S分别是四边形三等分点，
∴$\frac{DR}{DA}$=$\frac{DN}{DC}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{2}{3}$．
∵∠D=∠D，∠EBH=∠ABC，
∴△DRN∽△DAC，△BEH∽△BAC，
∴$\frac{RN}{AC}$=$\frac{DR}{DA}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{EH}{AC}$=$\frac{BE}{BA}$=$\frac{2}{3}$，∠DRN=∠DAC，∠BEH=∠BAC，
∴RN=$\frac{1}{2}$EH，RN∥AC，EH∥AC，
∴RN∥EH，
∴△RNL∽△HEL，
∴$\frac{NL}{EL}$=$\frac{RL}{HL}$=$\frac{1}{2}$，
∴L是EN、RH的三等分点．
同理：I是EN、SG的三等分点，J是SG、FM的三等分点，K是FM、RH的三等分点．
连接LJ、EJ、LM、EM，如图2．
∵L、I是EN的三等分点，
∴S_△LIJ=$\frac{1}{2}$S_△LEJ，S_△ELM=$\frac{2}{3}$S_△ENM．
∵J、K是FM的三等分点，
∴S_△LKJ=$\frac{1}{2}$S_△LJM，S_△EJM=$\frac{2}{3}$S_△EFM，
∴S_{四边形ILKJ}=S_△LIJ+S_△LJK
=$\frac{1}{2}$S_△LEJ+$\frac{1}{2}$S_△LJM=$\frac{1}{2}$S_{四边形EJML}
=$\frac{1}{2}$（S_△ELM+S_△EJM）
=$\frac{1}{2}$×[$\frac{2}{3}$S_△ENM+$\frac{2}{3}$S_△EFM]
=$\frac{1}{3}$S_{四边形EFMN}．
同理：S_{四边形EFMN}=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}，
∴S_阴影=S_{四边形ILKJ}=$\frac{1}{9}$S_{四边形ABCD}．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等高三角形的面积比等于底的比等知识，证到L、I是EN的三等分点及J、K是FM的三等分点，并由此证到四边形ILKJ的面积是四边形EFMN面积的三分之一是解决本题的关键．