Question

9．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．

求：
（1）P到OC的距离．
（2）山坡的坡度tanα．
（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）

Answer 1

分析 （1）过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形，先解Rt△PBD，得出BD=PD•tan26.6°；解Rt△CPD，得出CD=PD•tan31°；再根据CD-BD=BC，列出方程，求出PD=400即可求得点P到OC的距离；
（2）利用求得的线段PD的长求出PE=40，AE=100，然后在△APE中利用三角函数的定义即可求解．

解答 解：（1）如图，过点P作PD⊥OC于D，PE⊥OA于E，则四边形ODPE为矩形．
在Rt△PBD中，∵∠BDP=90°，∠BPD=26.6°，
∴BD=PD•tan∠BPD=PD•tan26.6°；
在Rt△CPD中，∵∠CDP=90°，∠CPD=31°，
∴CD=PD•tan∠CPD=PD•tan31°；
∵CD-BD=BC，
∴PD•tan31°-PD•tan26.6°=40，
∴0.60PD-0.50PD=40，
解得PD=400（米），
∴P到OC的距离为400米；

（2）在Rt△PBD中，BD=PD•tan26.6°≈400×0.50=200（米），
∵OB=240米，
∴PE=OD=OB-BD=40米，
∵OE=PD=400米，
∴AE=OE-OA=400-300=100（米），
∴tanα=$\frac{PE}{AE}$=$\frac{40}{100}$=0.4，
∴坡度为0.4．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．