Question

20．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD与CE相交于点F，AE²=EF•EC．
（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；
（2）求证：AF•AD=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，推出△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到∠EAF=∠ECA，于是得到∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{EF}=\frac{AC}{AF}$，即$\frac{AF}{EF}=\frac{AC}{AE}$，推出△FAE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{FA}{AB}=\frac{EF}{AC}$，于是得到FA•AC=EF•AB，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵BD=AD=AC，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，
∵AE²=EF•EC，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{AE}$，
∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；

（2）∵△EAF∽△ECA，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AC}{AF}$，即$\frac{AF}{EF}=\frac{AC}{AE}$，
∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，
∴△FAE∽△ABC，
∴$\frac{FA}{AB}=\frac{EF}{AC}$，
∴FA•AC=EF•AB，
∵AC=AD，
∴AF•AD=AB•EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，证得△EAF∽△ECA是解题的关键．