Question

【题目】如图，AB是半圆半径，半径OC⊥AB于点O，点D是弧BC的中点，连接CD、AD、OD，给出以下四个结论：①∠DOB=∠ADC；②CE=OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2=CE·AB．其中正确结论的序号是（　　）

A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】试题分析：①∵AB是半圆直径，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AD平分∠CAB交弧BC于点D， ∴∠CAD=∠DAO=∠CAB， ∴∠CAD=∠ADO， ∴AC∥OD，

∴∠DOB=∠CAO，又∵∠CAO=∠ADC（都对着半圆弧），∴∠DOB=∠ADC故①正确；

②由题意得，OD=R，AC=R， ∵OE：CE=OD：AC=1： ，

∴OE≠CE，故②错误；

③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，

∴∠DEO≠∠DAO，∴不能证明△ODE和△ADO相似， ∴③错误；

④∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，∴∠CAD=×45°=22.5°，

∴∠COD=45°， ∵AB是半圆直径，∴OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=67.5°

∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已证）， ∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，

∴△CED∽△COD， ∴， ∴= ， ∴．

∴④正确．故选C．