Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C在x轴上（不与点A重合）
（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）
（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标
（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，∠APC=90°，求点P的坐标及∠ACP的度数．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）分类讨论：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根据相似三角形的性质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（

3

，1）时，根据正弦函数据，可得∠COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为（-

3

，1）时，根据正弦函数据，可得∠AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．

解答：解：（1）点C的坐标为（m，0）或（4m，0）．或（-4m，0）；
（2）当△BOC与△AOB全等时，点C的坐标为（m，0），
二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B、C三点，

c=2m -m2-mb+c=0 -m2+mb+c=0

，解得

b=0 c=4 m=2

．
二次函数解析式为y=-x²+4，点C的坐标为（2，0）；
（3）作PH⊥AC于H，设点P的坐标为（a，-a²+4），
∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°-∠CPH，
∴△APH∽△PCH，∴

AH

PH

=

PH

CH

，
即PH²=AH•CH，
（-a²+4）²=（a+2）（2-a）．
解得a=

3

，或a=-

3

，即P（

3

，1）或（-

3

，1），
如图：

当点P₁的坐标为（

3

，1）时，OP₁=2=OC，sin∠P₁OE=

P1E

P1O

=

1

2

∴∠COP=30°，∴∠ACP=

180°-∠POC

2

=75°
当点P的坐标为（-

3

，1）时，sin∠P₂OF=

P2F

P2O

=

1

2

，∠P₂OF=30°．
由三角形外角的性质，得∠P₂OF=2∠ACP，即∠ACP=15°．

点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质．