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【题目】如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方,BC在直线MN上,EBC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.

(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;

(2)连接FC,观察并猜测∠FCN的度数,并说明理由;

(3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=a,BC=b(a、b为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点EBC运动时,∠FCN的大小是否总保持不变?若∠FCN的大小不变,请用含a、b的代数式表示tanFCN的值;若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.

【答案】(1)见解析;(2)45°;(3.

【解析】试题分析:

(1)由正方形的性质,用SAS证明△BAE≌△DAG;

(2)FH⊥MNH,证明△EFH≌△ABE,再证△CHF是等腰直角三角形;

(3)结合(1)(2),可证明△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,再用相似三角形的性质得到结论.

试题解析:

(1)证明:四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,

∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD,

∴∠BAE=∠DAG,

∴△BAE≌△DAG.

(2)解:∠FCN=45°,

理由是:作FH⊥MNH,

∵∠AEF=∠ABE=90°,

∴∠BAE+∠AEB=90°,∠FEH+∠AEB=90°,

∴∠FEH=∠BAE,

∵AE=EF,∠EHF=∠EBA=90°,

∴△EFH≌△ABE,

∴FH=BE,EH=AB=BC,

∴CH=BE=FH,

∵∠FHC=90°,

∴∠FCN=45°.

(3)解:当点EBC运动时,∠FCN的大小总保持不变,

理由是:作FH⊥MNH,

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°,

结合(1)(2)得∠FEH=∠BAE=∠DAG,

∵G在射线CD上,

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°,

∴△EFH≌△GAD,△EFH∽△ABE,

∴EH=AD=BC=b,

∴CH=BE,

RtFEH中,tanFCN=

当点EBC运动时,FCN的大小总保持不变,tanFCN=

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