Question

20．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=3，以O为原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），点P为斜边OB上的一个动点，当PA+PC取最小值时．
（1）在图中确定点P的位置，并保留作图痕迹（不要求尺规作图）；
（2）求出PA+PC的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴上的点到线段两端点的距离相等，可得D点，根据两点之间线段最短，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得DE、OE的长，根据勾股定理，可得答案．

解答 解：如图：，
（2）DC关于OB对称，作DE⊥OA于E点，得
OD=OC=$\frac{1}{2}$，∠DOC=60°，
△ODC是等边三角形．
DE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，OE=$\frac{1}{4}$．
AE=3-$\frac{1}{4}$=$\frac{11}{4}$．
由勾股定理，得
AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{11}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．
PA+PC=PA+PD=AD=$\frac{\sqrt{31}}{2}$．

点评 本题考查了轴对称，利用了轴对称的性质，线段的性质，勾股定理，利用轴对称得出等边三角形的判定是解题关键．