Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12 cm，AD＝8 cm，BC＝22 cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发．当其中一动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．当t为何值时，PQ与⊙O相切？

Answer 1

【答案】当t＝2s 时，PQ与⊙O相切．

【解析】

当PQ是圆的切线时，利用切线的性质把AP，PH，CQ，BQ分别用t表示，然后利用勾股定理就可以求出t．

设PQ与⊙O相切于点H过点P作PE⊥BC，垂足为E．

∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB．

∵AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC﹣CQ=22﹣2t，EQ=BQ﹣BE=22﹣2t﹣t=22﹣3t；

∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC为⊙O的切线，∴AP=PH，HQ=BQ，∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22﹣2t=22﹣t；

在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+（22﹣3t）2=（22﹣t）2，即：8t2﹣88t+144=0，∴t2﹣11t+18=0，（t﹣2）（t﹣9）=0，∴t1=2，t2=9；

∵P在AD边运动的时间为秒．

∵t=9＞8，∴t=9（舍去），∴当t=2秒时，PQ与⊙O相切．