Question

【题目】某产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额－生产费用）

（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；

（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？

（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）W＝，年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）1080万元

【解析】（1）先设出函数解析式，再通过待定系数法即可得出函数解析式；（2）根据“毛利润＝销售额－生产费用”可求出w与x之间的函数关系式，再通过顶点坐标可得出年产量的值及最大的毛利润；（3）由y＝360，得出x的值，再通过关于w的二次函数的增减性即可得出答案.

解：（1），

（2）W＝

＝

＝

＝

∵<0，

∴当x＝75时，W有最大值1125

∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元

（3）令y＝360，得，解得x＝±60（负值舍去）

由图象可知，当0<y≤360时，0<x≤60

由W＝的性质可知，

当0<x≤60时，W随x的增大而增大

∴当x＝60时，W有最大值1080

∴今年最多可获得毛利润1080万元