Question

设a，b，c是素数，记x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，当z2=y，

x

-

y

=2时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：首先根据题意用含有x，y，z的代数式表示出a，b，c，再根据y=z²，得到a=

z(z+1)

2

，根据z为整数，a为素数求出z和a的值，进而求出b和c的值，最后判断a，b，c能否构成三角形的边长．

解答：解：不能．
依题意，得  a=

1

2

(y+z)，b=

1

2

(x+z)，c=

1

2

(x+y)．
因为y=z²，所以a=

1

2

(y+z)=

1

2

(z2+z)=

z(z+1)

2

．
又由于z为整数，a为素数，
所以z=2或-3，a=3．
当z=2时，y=z2=4，x=(

y

+2)2=16．进而，b=9，c=10，与b，c是素数矛盾；
当z=-3时，a+b-c＜0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长．

点评：本题主要考查了质数与合数的知识，解答本题的关键根据a为素数求出z的值，进而求出a的值．