Question

4．嘉淇想证明三角形内角和是180°和其他一些的命题．请完成下列一些命题和证明．
（1）怎样证明三角形内角和是180°呢？
（2）已知命题：等腰三角形底边上的中线和顶角的角平分线重合，证明这个命题，并写出它的逆命题，逆命题成立吗？
命题：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形
证明：证明：在△ABD和△ACD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD
由此我们不难发现：此命题是互逆命题
那么怎样证明呢？请写出证明过程．（可以画出作图痕迹．）

Answer 1

分析 （1）先写出已知、证明，过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，利用平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根据平角的定义进行证明；
（2）根据证明的步骤，先写出已知、求证，再写出证明过程，最后写出逆命题即可．

解答 解：（1）已知：△ABC，如图1，
求证：∠A+∠B+∠C=180°，
证明：过点C作CD∥AB，点E为BC的延长线上一点，如图，
∵CD∥AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠C+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°．

（2）如图2，已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：∠BAD=∠CAD．
证明：在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD．
它的逆命题是：底边上的中线和顶角的角平分线重合的三角形是等腰三角形，成立．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键时把三角形三个角的和转化为一个平角，同时注意文字题证明的步骤书写．