Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点.点是轴下方的抛物线上一动点（包含点,）．作直线，若过点作轴的垂线，交直线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在点运动的过程中，请求出面积的最大值及此时点的坐标；

（3）在点运动的过程中，是否存在点，使是等腰三角形．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）面积的最大值为5，此时点的坐标为；（3）存在，点的横坐标为2，1.5或．

【解析】

（1）将A、B两点坐标代入函数解析式计算即可；

（2）先求出直线BC的解析式，设点的横坐标为，当点在直线下方时，，先求出PQ的最大值，进而得到面积的最大值及此时点的坐标，当点在直线上方时，，同样求出PQ的最大值，进而得到面积的最大值及此时点的坐标，最后两者比较大小即可；

（3）分别讨论当CQ=CP，CQ=QP及CP=QP时，画出相应图形，构造直角三角形利用勾股定理计算即可．

解：（1）根据题意，抛物线的解析式可写为：，

即，

，.

∴ 该抛物线的解析式为.

（2）如图，连接，.

将代入得，.

.

设直线的解析式为.

将，代入得，

解得

∴直线的解析式为：.

设点的横坐标为，

当点在直线下方时，，

则，，

，

∴当时，最大，此时，.

∴面积的最大值为：.

当点在直线上方时，，

∴

∴当时，最大，此时，.

∴面积的最大值为：.

∵，

∴面积的最大值为5，此时点的坐标为

（3）设点的横坐标为，则，，

∴PQ=||=||，

如图，当CQ=CP时，过点C作CH⊥PQ，

则PQ=2QC，

∵点C（0，-2），

∴QC=||=||，

∴||=2||，

解得m=2或m=0（舍去）

如图，当CQ=QP时，则CQ=QP=||，

过点C作CH⊥PQ，则CH=|m|，QH=||，

在Rt△QCH中，QC2=QH2+CH2，

∴，

解得m=或m=（舍去）或m=0（舍去），

如图，当CP=QP时，则CP=QP=||，

过点C作CH⊥PQ，则CH=|m|，PH=||=||，

在Rt△PCH中，PC2=PH2+CH2，

∴，

解得m=1.5，

∴存在点，使是等腰三角形，点的横坐标为2，1.5或.