Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC．

（1）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；

（2）在（1）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，0）；（2）存在，当m＝或时，△APQ与△ADB相似，理由见解析

【解析】

（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，可证△ABC∽△ADB，可得∠ABC＝∠ADB，可证△ABC∽△BDC，可得，可求CD的长，即可求点D坐标；

（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．

（1）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，

∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ABD＝90°，

∴△ABC∽△ADB，

∴∠ABC＝∠ADB，且∠ACB＝∠BCD＝90°，

∴△ABC∽△BDC，

∴

∵A（﹣3，0），C（1，0），

∴AC＝4，

∵BC＝AC．

∴BC＝3，

∴AB＝＝＝5，

∵，

∴，

∴CD＝，

∴AD＝AC+CD＝4+＝，

∴OD＝AD﹣AO＝，

∴点D的坐标为：（，0）；

（2）如图2，当∠APC＝∠ABD＝90°时，

∵∠APC＝∠ABD＝90°，∠BAD＝∠PAQ，

∴△APQ∽△ABD，

∴，

∴

∴m＝，

如图3，当∠AQP＝∠ABD＝90°时，

∵∠AQP＝∠ABD＝90°，∠PAQ＝∠BAD，

∴△APQ∽△ADB，

∴，

∴

∴m＝；

综上所述：当m＝或时，△APQ与△ADB相似．