【题目】如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y轴正半轴交于点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.
(1)求一次函数解析式;
(2)求顶点P的坐标;
(3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且 ,求点M坐标;
(4)设抛物线的对称轴交x轴于点E,连接AP交y轴于点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,连接QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.
【答案】
(1)
解:∵A(﹣1,0),
∴OA=1
∵OB=3OA,
∴B(0,3)
∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为:y=3x+3
(2)
解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y轴正半轴交于点B(0,3),
∴c=3,a=﹣1,
∴二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3
∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点P(1,4)
(3)
解:设平移后的直线的解析式为:y=3x+m
∵直线y=3x+m过P(1,4),
∴m=1,
∴平移后的直线为y=3x+1
∵M在直线y=3x+1,且
设M(x,3x+1)
①当点M在x轴上方时,有 ,
∴ ,
∴
②当点M在x轴下方时,有 ,
∴ ,
∴ ,
(4)
解:作点D关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N⊥PD于点N,
当﹣x2+2x+3=0时,解得,x=﹣1或x=3,
∴A(﹣1,0),
P点坐标为(1,4),
则可得PD解析式为:y=2x+2,
根据ND′⊥PD,
设ND′解析式为y=kx+b,
则k=﹣ ,
将D′(2,2)代入即可求出b的值,
可得函数解析式为y=﹣ x+3,
将两函数解析式组成方程组得: ,
解得 ,
故N( , ),
由两点间的距离公式:d= = ,
∴所求最小值为
【解析】(1)根据抛物线的解析式即可得出B(0,3),根据OB=3OA,可求出OA的长,也就得出了A点的坐标,然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中,即可得出所求;(2)将(1)得出的A点坐标代入抛物线的解析式中,可求出a的值,也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标;(3)易求出平移后的直线的解析式,可根据此解析式设出M点坐标(设横坐标,根据直线的解析式表示出纵坐标).然后过M作x轴的垂线设垂足为E,在构建的直角三角形AME中,可用M点的坐标表示出ME和AE的长,然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标.(本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解.方法一样.)(4)作点D关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N⊥PD于点N,根据垂线段最短求出QD+QN的最小值.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】按要求解答下列各题
(1)已知a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,x=(-2)2。
试求x2 -(a + b + c×d) x +(a + b)2015 +(-c×d)2016的值。
(2)已知有理数a、b、c 满足|a-1|+|b-3|+|3c-1|=0,求(a×b×c)178 ÷(a36×b7×c6)的值。
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【题目】如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作⊙O,交斜边AC于点D,连接BD.
(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连接ED,试证明ED与⊙O相切.
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【题目】中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广,为了传承优秀传统文化,某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分,为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列不完整的统计图表:
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | n |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x≤100 | 50 | 0.25 |
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)m= , n=;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?
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【题目】在一次中学生田径运动会上,根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩(单位:m),绘制出如下的统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)图1中a的值为 ;
(Ⅱ)求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数;
(Ⅲ)根据这组初赛成绩,由高到低确定9人进入复赛,请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛.
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【题目】如图,已知∠ADC=∠EFC,∠3=∠C,可推得∠1=∠2.理由如下:
解:因为∠ADC=∠EFC(已知)
所以AD∥EF( ).
所以∠1=∠4( ),
因为∠3=∠C(已知),
所以AC∥DG( ).
所以∠2=∠4( ).
所以∠1=∠2(等量代换).
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【题目】如图在坐标系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60°,连续翻转2015次,点A的落点依次为A1 , A2 , A3 , …,则A2015的坐标为.( )
A.(1343,0)
B.(1347,0)
C.(1343 , )
D.(1347 , )
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【题目】某面粉加工厂要加工一批小麦,2台大面粉机和5台小面粉机同时工作2小时共加工小麦1.1万斤;3台大面粉机和2台小面粉机同时工作5小时共加工小麦3.3万斤.
(1)1台大面粉机和1台小面粉机每小时各加工小麦多少万斤?
(2)该厂现有9.45万斤小麦需要加工,计划使用8台大面粉机和10台小面粉机同时工作5小时,能否全部加工完?请你帮忙计算一下.
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