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【题目】如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y轴正半轴交于点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.

(1)求一次函数解析式;
(2)求顶点P的坐标;
(3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且 ,求点M坐标;
(4)设抛物线的对称轴交x轴于点E,连接AP交y轴于点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,连接QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.

【答案】
(1)

解:∵A(﹣1,0),

∴OA=1

∵OB=3OA,

∴B(0,3)

∴图象过A、B两点的一次函数的解析式为:y=3x+3


(2)

解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y轴正半轴交于点B(0,3),

∴c=3,a=﹣1,

∴二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3

∴抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点P(1,4)


(3)

解:设平移后的直线的解析式为:y=3x+m

∵直线y=3x+m过P(1,4),

∴m=1,

∴平移后的直线为y=3x+1

∵M在直线y=3x+1,且

设M(x,3x+1)

①当点M在x轴上方时,有

②当点M在x轴下方时,有


(4)

解:作点D关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N⊥PD于点N,

当﹣x2+2x+3=0时,解得,x=﹣1或x=3,

∴A(﹣1,0),

P点坐标为(1,4),

则可得PD解析式为:y=2x+2,

根据ND′⊥PD,

设ND′解析式为y=kx+b,

则k=﹣

将D′(2,2)代入即可求出b的值,

可得函数解析式为y=﹣ x+3,

将两函数解析式组成方程组得:

解得

故N( ),

由两点间的距离公式:d= =

∴所求最小值为


【解析】(1)根据抛物线的解析式即可得出B(0,3),根据OB=3OA,可求出OA的长,也就得出了A点的坐标,然后将A、B的坐标代入直线AB的解析式中,即可得出所求;(2)将(1)得出的A点坐标代入抛物线的解析式中,可求出a的值,也就确定了抛物线的解析式进而可求出P点的坐标;(3)易求出平移后的直线的解析式,可根据此解析式设出M点坐标(设横坐标,根据直线的解析式表示出纵坐标).然后过M作x轴的垂线设垂足为E,在构建的直角三角形AME中,可用M点的坐标表示出ME和AE的长,然后根据∠OAM的正切值求出M的坐标.(本题要分M在x轴上方和x轴下方两种情况求解.方法一样.)(4)作点D关于直线x=1的对称点D′,过点D′作D′N⊥PD于点N,根据垂线段最短求出QD+QN的最小值.
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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成绩x/分

频数

频率

50≤x<60

10

0.05

 60≤x<70

30

0.15

 70≤x<80

40

n

 80≤x<90

m

0.35

 90≤x≤100

50

0.25

请根据所给信息,解答下列问题:

(1)m= , n=
(2)请补全频数分布直方图;
(3)这次比赛成绩的中位数会落在分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)的为“优”等,则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人?

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